Question

12．已知矩形的面积为1，设该矩形的长为x，周长为y，小彬借鉴以前研究函数的经验，对函数y随自变量x的变化进行了探究；以下是小彬的探究过程：
（1）结合问题情境分析：
①y与x的函数表达式为y=2x+$\frac{2}{x}$；②自变量x的取值范围是x＞0．
（2）下表是y与x的几组对应值．

x	…	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	…
y	…	$\frac{17}{2}$	$\frac{20}{3}$	5	4	m	$\frac{20}{3}$	$\frac{17}{2}$	…

①写出m的值；
②画出函数图象；
③观察图象，写出该函数两条不同类型的性质．

Answer 1

分析 （1）①根据矩形的周长公式即可得到结论；
②根据题意即可得到结论；
（2）根据表中的数据画出函数的图象即可；
（3）结合表中的数据就可以写出图象的相应的性质．

解答 解：（1）①y与x的函数表达式为 y=2x+$\frac{2}{x}$；
②自变量x的取值范围是x＞0；
故答案为：y=2x+$\frac{2}{x}$，x＞0；
（2）①把x=2，y=m代入y=2x+$\frac{2}{x}$，
解得：m=5；
②函数图象如图所示；
③当0＜x＜1时，y随x增大而减小；当x＞1时，y随x增大而增大；当x=1时函数y=2x+$\frac{2}{x}$（x＞0）的最小值为2．

点评 本题考查了描点法画函数的图象的方法，二次函数最值的运用．反比例函数的图象性质的运用．