Question

20．如图，BC是⊙O的直径，延长CB到点A使AB=$\frac{1}{2}$CB，过点A作射线AD，使AD与⊙O相切于点D，连接BD，CD．若点E是劣弧$\widehat{BD}$上一点，则∠BED的度数为150°．

Answer 1

分析 连结OD，如图，由切线的性质得∠ADO=90°，再在Rt△AOD中利用三角函数的定义求出∠AOD=60°，然后根据三角形外角性质计算出∠C=30°，然后根据圆内接四边形的性质求∠BED的度数．

解答 解：连结OD，如图，
∵AD为切线，
∴OD⊥AD，
∴∠ADO=90°，
∵AB=$\frac{1}{2}$CB，BC是⊙O的直径
∴AB=OB=OA，
在Rt△AOD中，∵cos∠AOD=$\frac{OD}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠AOD=60°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
而∠AOD=∠C+∠ODC，
∴∠C=$\frac{1}{2}∠$AOD=30°，
∵∠BED+∠C=180°，
∴∠BED=180°-30°=150°．
故答案为150°．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．解决本题的关键是求出∠AOD的度数．