Question

如图①，已知等腰直角△ABC中，BD为斜边上的中线，E为DC上的一点，且AG⊥BE于G，AG交BD于F．

（1）求证：AF=BE；

（2）如图②，若点E在DC的延长线上，其它条件不变，①的结论还能成立吗？若不能，请说明理由；若能，请予以证明．

2015-2016学年山东省日照市五莲县八年级（上）期中数学试卷

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

【分析】（1）首先证明AD=BD，再证明∠DAF=∠DBE，可利用ASA定理判定△AFD≌△BED，进而得到AF=BE；

（2）方法与（1）类似，证明△AFD≌△BED（AAS）可得AF=BE．

【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，BD为斜边上的中线，

∴BD=AD=AC，∠ADB=90°，

∴∠1+∠GAD=90°，

∵AG⊥BE于G，

∴∠2+∠DBE=90°，

∵∠1=∠2，

∴∠DAF=∠DBE，

在△AFD和△BED中，

，

∴△AFD≌△BED（ASA），

∴AF=BE；

（2）①的结论还能成立；

∵△ABC是等腰三角形，BD为斜边上的中线，

∴BD=AD=AC，∠ADB=90°，

∴∠DBE+∠DEB=90°，

∵AG⊥BE于G，

∴∠GBF+∠F=90°，

∵∠DBE=∠GBF，

∴∠F=∠DEB，

在△AFD和△BED中，

，

∴△AFD≌△BED（AAS），

∴AF=BE；

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．