题目内容
13．基本模型：如图1，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC=90°，易得△AFE∽△BCF．（1）模型拓展：如图2，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC，求证：△AFE∽△BCF；
（2）拓展应用：如图3，AB是半圆⊙O的直径，弦长AC=BC=4$\sqrt{2}$，E，F分别是AC，AB上的一点，若∠CFE=45°．若设AE=y，BF=x，求出y与x的函数关系及y的最大值．
分析 （1）利用已知得出∠E=∠CFB，进而利用相似三角形的判定方法得出即可；
（2）利用（1）得出△AFE∽△BCF，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到y和x的数量关系，进而求出y与x的函数关系式．
解答 解：（1）证明：∵∠A=∠EFC，
∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB，
∴∠E=∠CFB，
∵∠A=∠B，
∴△AFE∽△BCF；
（2）解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=8，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠A=∠B=∠CFE=45°，
由（1）可得△AFE∽△BCF，
∴AE：BF=AF：BC，
即$\frac{y}{x}=\frac{8-x}{4\sqrt{2}}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{2}}{8}$x2+$\sqrt{2}$x（0≤x≤8），
∴当x=4时，y最大=2$\sqrt{2}$．
点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理以及二次函数最值等知识，根据题意熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．
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