Question

19．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D=108°，连接AC．
（1）求∠BAC的度数；
（2）若∠DCA=27°，AB=8，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形的性质得到∠B=72°，根据AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）连接OC，OD，根据三角形的内角和得到∠DAC=180°-108°-27°=45°，由圆周角定理得到∠DOC=90°，推出△COD是等腰直角三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D=108°，
∴∠B=72°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=18°；

（2）连接OC，OD，
∵∠D=108°，∠DCA=27°，
∴∠DAC=180°-108°-27°=45°，
∴∠DOC=90°，
∴△COD是等腰直角三角形，
∵AB=8，
∴OC=OD=4，
∴阴影部分的面积=S_扇形COD-S_△COD=$\frac{90π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×4²=4π-8．

点评 本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．