Question

4．如图，边长为1的正方形ABCD中，P为对角线AC上的任意一点，分别连接PB、PD，
PE⊥PB，交CD与E．
（1）求证：PE=PD；
（2）当E为CD的中点时，求AP的长；
（3）设AP=x（0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$），四边形BPEC的面积为y，求证：y=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$-x）²．

Answer 1

分析 （1）作PG⊥BC于G，PH⊥CD于H，根据轴对称图形的性质得到PB=PD，PG=PH，证明△BPG≌△EPH，得到PB=PE，等量代换得到答案；
（2）证明∠DPH=∠EPH，根据等腰三角形的性质求出DH，根据勾股定理计算即可；
（3）根据四边形BPEC的面积=正方形PGCH的面积计算．

解答 （1）证明：作PG⊥BC于G，PH⊥CD于H，
∵四边形ABCD是正方形，正方形是轴对称图形，
∴PB=PD，PG=PH，∠BCD=90°，
∴四边形PGCH是矩形，
∴PG⊥PH，又PE⊥PB，
∴∠BPG=∠EPH，
在△BPG和△EPH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPG=∠EPH}\\{PG=PH}\\{∠PGB=∠PHE}\end{array}\right.$，
∴△BPG≌△EPH，
∴PB=PE，又PB=PD，
∴PE=PD；
（2）解：∵四边形ABCD是轴对称图形，
∴∠BPC=∠DPC，∠GPC=∠HPC=45°，
∴∠BPG=∠DPH，又∠BPG=∠EPH，
∴∠DPH=∠EPH，又PH⊥CD，
∴DH=EH=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{4}$CD=$\frac{1}{4}$，
∴PH=HC=$\frac{3}{4}$，
∴PC=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC=$\sqrt{2}$，
∴AP=AC-PC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
（3）证明：∵AC=$\sqrt{2}$，AP=x，
∴PC=$\sqrt{2}$-x，
∵△BPG≌△EPH，
∴四边形BPEC的面积y=正方形PGCH的面积=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$-x）²．

点评 本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是90°、一条对角线平分一组对角是解题的关键．