Question

如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，若将△ABC绕着点C逆时针旋转90°得△EDC．
（1）求证：∠ADC+∠CDE=180°；
（2）若AB=3cm，AC=4

2

cm，求AD的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的周长和面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,旋转的性质

专题：

分析：（1）通过旋转的性质和四边形内角和定理证得结论；
（2）根据旋转的性质得到AC=EC，AB=ED；然后在等腰直角△ACE中，由勾股定理求得AE的长度，则AD=AE-EC=AE-AB；
（3）如图，连接BD；在（2）的条件下，利用勾股定理可以求得BD的长度，则利用等腰直角三角形的性质易求BC的长度，从而求得四边形ABCD的周长；四边形ABCD的面积=△ACE的面积．

解答：（1）证明：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，则∠B+∠ADC=180°．
∵将△ABC绕着点C逆时针旋转90°得△EDC，
∴△ABC≌△EDC，
∴∠CDE=∠CBA，
∴∠ADC+∠CDE=180°；

（2）解：∵将△ABC绕着点C逆时针旋转90°得△EDC，
∴AC=EC=4

2

cm，AB=ED=3cm，∠ACE=90°，
∴AE=

2

AC=8cm，
∴AD=AE-EC=AE-AB=5cm；

（3）解：如图，连接BD．
由（2）知，AD=5cm．
则在直角△ABD中，由勾股定理得到：BD=

AB2+AD2

=

34

．
又∵BC=CD，∠BCD=90°，
∴BC=CD=

34

2

=

17

，
∴四边形ABCD的周长为：AB+AD+2BC=3+5+2

17

=8+2

17

；
∵△ABC≌△EDC，
∴四边形ABCD的面积=△ACE的面积=

1

2

AC•CE=

1

2

×4

2

×4

2

=16（cm²）．
综上所述，四边形ABCD的周长为（8+2

17

）cm，面积为16cm²．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质以及三角形的面积．旋转前、后的图形全等．