Question

3．在矩形ABCD中，∠A和∠B的平分线交边CD于点M和N．若M、N是CD的三等分点．那么AB：BC的值为3：1或3：2．

Answer 1

分析 分两种情形：①如图1中，只要证明AD=DM=MN=NC=BC即可解决问题，②如图2中，只要证明AD=DM=MN=NC=BC即可解决问题．

解答 解：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠DAB=∠ABC=90°，AB=CD，AD=CB，
∵AM平分∠DAB，NB平分∠ABC，
∴∠DAM=∠MAB=∠AMD=45°，∠CBN=∠ABN=∠CNB=45°，
∴AD=DM，CN=BC，
∵DM=MN=NC，
∴AB：BC=3：1．
如图2中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠DAB=∠ABC=90°，AB=CD，AD=CB，
∵AM平分∠DAB，NB平分∠ABC，
∴∠DAM=∠MAB=∠AMD=45°，∠CBN=∠ABN=∠CNB=45°，
∴AD=DM，CN=BC，
∵DN=NM=MC，
∴AB：BC=3：2．

点评 本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是等腰直角三角形的证明，属于中考常考题型．