Question

8．如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=4，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对点D′落在矩形的对角线上，DE的长为1.5或$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 先依据勾股定理可求得AC的长，然后由翻折的性质可求得AD=AD′=3，于是可求得D′C的长，接下来，证明△ECD′∽△ADC，依据相似三角形的性质可求得ED′=1.5，由翻折的性质可求得DE的长．

解答 解：如图所示；连接AC．

∵由翻折的性质可知；DE=ED′，AD=AD′=3，∠D=∠ED′A=90°，
∴∠ED′C=90°．
∵在△ABC中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{B{C}^{2}+A{B}^{2}}$=5．
∴CD′=AC-AD′=2．
∵∠ECD′=∠DCA，∠ED′C=∠CDA=90°，
∴△ECD′∽△ADC．
∴$\frac{D′C}{DC}=\frac{ED′}{AD}$即$\frac{2}{4}=\frac{ED′}{3}$，解得；ED′=1.5．
∴DE=1.5．
如图所示：

∵∠ADO+∠DAO=90°，∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠DAO=∠DBA．
∴OD=AD×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$．
∴DE=OD÷$\frac{4}{5}$=$\frac{9}{5}$×$\frac{5}{4}$=$\frac{9}{4}$．
故答案为：1.5或$\frac{9}{4}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定，依据相似三角形的性质求得ED′的长是解题的关键．