Question

19．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC
（1）求证：AE⊥DE；
（2）设以AD为直径的半圆交AB于F，连结DF交AE于G，已知CD=5，AE=8．
①求BC的长；
②求$\frac{FG}{AF}$值．

Answer 1

分析 （1）由∠BAD+∠ADC=180°．又因为AE、DE平分∠BAD、∠ADC，推出∠DAE+∠ADE=90°，即可推出∠AED=90°，由此即可解决问题．
（2）①只要证明BA=BW，CD=CE即可解决问题．②由tan∠FAG=$\frac{FG}{AF}$，可得$\frac{FG}{AF}$=tan∠DAE=$\frac{DE}{AE}$，求出DE即可解决问题．

解答 （1）证明：在平行四边形ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°．
又∵AE、DE平分∠BAD、∠ADC，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥DE．                        

（2）解：①在平行四边形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD=5，AD=BC，
∴∠DAE=∠BEA，
   又∵AE平分∠BAD，即∠DAE=∠BAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴BE=AB=5，
同理EC=CD=5，
∴BC=BE+EC=10，
②∵AD=BC=10，AE=8，
在Rt△AED中，DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
又∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠FAG=∠DAE，
∵AD是直径，
∴∠AFD=90°，
∴tan∠FAG=$\frac{FG}{AF}$，
∴$\frac{FG}{AF}$=tan∠DAE=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查圆综合题、平行四边形的性质、勾股定理、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．