Question

9．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．
求证：（1）△AEH≌△CGF；
（2）四边形EFGH是菱形．

Answer 1

分析 （1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）易证四边形EFGH是平行四边形，那么EF∥GH，那么∠HGE=∠FEG，而EG是角平分线，易得∠HEG=∠FEG，根据等量代换可得∠HEG=∠HGE，从而有HE=HG，易证四边形EFGH是菱形．

解答 （1）证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
在△AEH与△CGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CG}\\{∠A=∠C}\\{AH=CF}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
（2）解：∵在ABCD中∠B=∠D，且AB=CD  AD=BC
又∵AE=CG  AH=CF，
∴BE=DG  DH=BF，
∴△DHG≌△BFE，
∴HG=EF
又∵HE=GF
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵EG平分∠HEF，
∴∠1=∠2
又∵HG∥EF，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴HE=HG，
∴EFGH是菱形；

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定．解题的关键是掌握两组对边相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形．