Question

11．数据x₁，x₂，x₃，…，x_n的平均数是a，数据y₁，y₂，y₃，…，y_n的平均数是b，探讨：
（1）数据x₁+x₂+…+x_n+y₁+y₂+…+y_n的平均数；
（2）数据x₁+10，x₂+10，…，x_n+10的平均数；
（3）数据2x₁+3y₁，2x₂+3y₂，…，2x_n+3y_n的平均数；
（4）由上面的探讨，总结出一般规律．

Answer 1

分析 （1）由题意得出x₁+x₂+x₃+…+x_n=na，y₁+y₂+…+y_n=nb，再依据平均数的定义计算（x₁+y₁+x₂+y₂+…+x_n+y_n）÷n=（na+nb）÷n可得答案；
（2）根据平均数的定义知x₁+10，x₂+10，…，x_n+10的平均数为$\frac{1}{n}$×（x₁+10+x₂+10+…+x_n+10），据此可得．
（3）把2x_l+3y₁，2x₂+3y₂，2x₃+3y₃…2x_n+3y_n的平均数的式子用a和b表示出来即可；
（4）一般规律为：mx₁+ny₁，mx₂+ny₂，…，mx_n+ny_n的平均数为ma+nb．

解答 解：（1）∵数据x₁，x₂，…x_n的平均数为a，数据y₁，y₂，…y_n的平均数为b，
∴x₁+x₂+x₃+…+x_n=na，y₁+y₂+…+y_n=nb，
∴数据x₁+y₁，x₂+y₂，…x_n+y_n的平均数为（x₁+y₁+x₂+y₂+…+x_n+y_n）÷n
=（na+nb）÷n
=a+b．

（2）数据x₁+10，x₂+10，…，x_n+10的平均数为$\frac{1}{n}$×（x₁+10+x₂+10+…+x_n+10）=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}+10n}{n}$=a+10；

（3）∵x₁、x₂、x₃的平均数为a，y₁、y₂、y₃的平均数为b
∴（2x₁+3y₁+2x₃+3y₃…2x_n+3y_n）÷n
=[2（x₁+x₂+x₃+••+x_n）+3（y₁+y₂+y₃+…+y_n）]÷n
=2a+3b．

（4）由以上可得mx₁+ny₁，mx₂+ny₂，…，mx_n+ny_n的平均数为ma+nb．

点评 本题考查了平均数的计算．本题说明了一组数据若是由两组数据的和或倍数组成，则数据的平均数是这两组数据的平均数的和或倍数．