Question

3．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB=AC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）PC=2$\sqrt{6}$，OA=4．
①求⊙O的半径；
②求线段PB的长．

Answer 1

分析 （1）连结OB，如图，由等腰三角形的性质得∠1=∠2，∠4=∠5，由OA⊥AC得∠2+∠3=90°，加上∠3=∠4，易得∠5+∠1=90°，即∠OBA=90°，于是根据切线的判定定理可得AB是⊙O的切线；
（2）作OH⊥PB于H，如图，根据垂径定理得到BH=PH，设⊙O的半径为r，则PA=OA-OP=4-r，根据勾股定理得到AC，AB，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：连结OB，如图，
∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵OA⊥AC，
∴∠2+∠3=90°，
∵OB=OP，
∴∠4=∠5，
而∠3=∠4，
∴∠5+∠2=90°，
∴∠5+∠1=90°，即∠OBA=90°，
∴OB⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；

（2）解：作OH⊥PB于H，如图，则BH=PH，
设⊙O的半径为r，则PA=OA-OP=4-r，
在Rt△PAC中，AC²=PC²-PA²=（2$\sqrt{6}$）²-（4-r）²，
在Rt△OAB中，AB²=OA²-OB²=4²-r²，
而AB=AC，
∴（2$\sqrt{6}$）²-（4-r）²=4²-r²，解得r=1，
即⊙O的半径为1；
∴PA=3，
∵∠3=∠4，
∴Rt△APC∽Rt△HPO，
∴$\frac{PA}{PH}$=$\frac{PC}{PO}$，即$\frac{3}{PH}$=$\frac{2\sqrt{6}}{1}$，
∴PH=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴PB=2PH=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了垂径定理和勾股定理．