如图①.已知一条直线过点(0.4).与抛物线y=$\frac{1}{4}$x2交于A.B两点.其中点A的横坐标是-2．(1)求这条直线的函数解析式及点B的坐标．(2)在x轴上是否存在点C.使得△ABC是直角三角形?若存在.求出点C的坐标.若不存在.请说明理由．(3)如图②.过线段AB上一点P.作PM∥x轴.交抛物线于点M.点M在第一象限.点N(0.1).当点M的横坐标为何值时.MN+3PM� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．如图①，已知一条直线过点（0，4），与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²交于A，B两点，其中点A的横坐标是-2．
（1）求这条直线的函数解析式及点B的坐标．
（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）如图②，过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3PM的值最大？最大值是多少？

分析（1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标；
（2）如图1，过点B作BG∥x轴，过点A作AG∥y轴，交点为G，然后分若∠BAC=90°，则AB²+AC²=BC²；若∠ACB=90°，则AB²=AC²+BC²；若∠ABC=90°，则AB²+BC²=AC²三种情况求得m的值，从而确定点C的坐标；
（3）设M（a，$\frac{1}{4}$a²），如图2，设MP与y轴交于点Q，首先在Rt△MQN中，由勾股定理得MN=$\frac{1}{4}$a²+1，然后根据点P与点M纵坐标相同得到x=$\frac{{a}^{2}-16}{6}$，从而得到MN+3PM=-$\frac{1}{4}$a²+3a+9，确定二次函数的最值即可．

解答解：（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为-2，
∴y=$\frac{1}{4}$×（-2）²=1，A点的坐标为（-2，1），
设直线的函数关系式为y=kx+b，
将（0，4），（-2，1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-2k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线y=$\frac{3}{2}$x+4，
∵直线与抛物线相交，
∴$\frac{3}{2}$x+4=$\frac{1}{4}$x²，
解得：x=-2或x=8，
当x=8时，y=16，
∴点B的坐标为（8，16）；

（2）如图1，连接AC，BC，

∵由A（-2，1），B（8，16）可求得AB²=325．
设点C（m，0），同理可得AC²=（m+2）²+1²=m²+4m+5，
BC²=（m-8）²+16²=m²-16m+320，
①若∠BAC=90°，则AB²+AC²=BC²，即325+m²+4m+5=m²-16m+320，
解得：m=-$\frac{1}{2}$；
②若∠ACB=90°，则AB²=AC²+BC²，即325=m²+4m+5+m²-16m+320，
解得：m=0或m=6；
③若∠ABC=90°，则AB²+BC²=AC²，即m²+4m+5=m²-16m+320+325，
解得：m=32；
∴点C的坐标为（-$\frac{1}{2}$，0），（0，0），（6，0），（32，0）

（3）设M（a，$\frac{1}{4}$a²），如图2，设MP与y轴交于点Q，

在Rt△MQN中，由勾股定理得MN=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{4}{a}^{2}-1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$a²+1，
又∵点P与点M纵坐标相同，
∴$\frac{3}{2}$x+4=$\frac{1}{4}$a²，
∴x=$\frac{{a}^{2}-16}{6}$，
∴点P的横坐标为$\frac{{a}^{2}-16}{6}$，
∴MP=a-$\frac{{a}^{2}-16}{6}$，
∴MN+3PM=$\frac{1}{4}$a²+1+3（a-$\frac{{a}^{2}-16}{6}$）=-$\frac{1}{4}$a²+3a+9，
∴当a=-$\frac{3}{2×（-\frac{1}{4}）}$=6，
又∵2≤6≤8，
∴取到最大值18，
∴当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18．