Question

11．四边形ABCD中，AD∥BC，AC交BD于点O．点E、F分别在OA、OB上，作射线DE、CF交AB分别于点M、N．$\frac{∠ODE}{∠ADE}$=$\frac{∠OCF}{∠BCF}$=n．
（1）当n=1，AC⊥BD时，①求∠ADO+∠BCO的值；②求∠DEO+∠CFO的值．
（2）当n=2，试探究：∠AMD+∠BNC与∠DOC的数量关系，证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先根据AD∥BC，得出∠ADO=∠OBC．由$\frac{∠ODE}{∠ADE}$=$\frac{∠OCF}{∠BCF}$=1，可设∠ODE=∠ADE=α，∠OCF=∠BCF=β．由AC⊥BD，得出∠OBC+∠BCO=90°，等量代换得出∠ADO+∠BCO=90°；于是2α+2β=90°，即α+β=45°．
再根据直角三角形两锐角互余得出∠DEO=90°-α，∠CFO=90°-β，于是求出∠DEO+∠CFO=90°-α+90°-β=180°-（α+β）=135°；
（2）先根据AD∥BC，得出∠ADO=∠OBC，∠DAB+∠ABC=180°．由$\frac{∠ODE}{∠ADE}$=$\frac{∠OCF}{∠BCF}$=2，可设∠ADE=γ，∠BCF=θ，则∠ODE=2γ，∠OCF=2θ．根据三角形内角和定理得出∠AMD+∠BNC=180°-∠DAB-γ+180°-∠ABC-θ=180°-（γ+θ），根据三角形外角的性质得出∠DOC=∠OBC+∠BCO=∠ADO+∠BCO=3γ+3θ=3（γ+θ），于是得出∠AMD+∠BNC=180°-$\frac{1}{3}$∠DOC．

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠OBC．
∵$\frac{∠ODE}{∠ADE}$=$\frac{∠OCF}{∠BCF}$=1，
∴可设∠ODE=∠ADE=α，∠OCF=∠BCF=β．
∵AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠ADO+∠BCO=90°；
∴2α+2β=90°，
∴α+β=45°．
∵∠DEO=90°-α，∠CFO=90°-β，
∴∠DEO+∠CFO=90°-α+90°-β=180°-（α+β）=135°；

（2）∠AMD+∠BNC=180°-$\frac{1}{3}$∠DOC．理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠OBC，∠DAB+∠ABC=180°．
∵$\frac{∠ODE}{∠ADE}$=$\frac{∠OCF}{∠BCF}$=2，
∴可设∠ADE=γ，∠BCF=θ，则∠ODE=2γ，∠OCF=2θ．
∵∠AMD+∠BNC=180°-∠DAB-γ+180°-∠ABC-θ=360°-（∠DAB+∠ABC）-（γ+θ）=180°-（γ+θ），
∠DOC=∠OBC+∠BCO=∠ADO+∠BCO=3γ+3θ=3（γ+θ），
∴∠AMD+∠BNC=180°-$\frac{1}{3}$∠DOC．

点评 本题考查了多边形内角与外角，平行线的性质，三角形内角和定理以及外角的性质，理清各个角之间的关系是解题的关键．