Question

15．已知四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于F，求证：AF=AE．

Answer 1

分析 连接BD，作CH⊥BE于H，根据正方形的性质求出正方形CGBH，求出2CH=CE，求出∠CEH=30°，根据等腰三角形性质和三角形的外角性质求出∠AEC=∠CAE=15°，求出∠F的度数即可．

解答 证明：连接BD，作CH⊥BE于H，如图所示：
∵正方形ABCD，
∴∠BGC=90°，GC=BG，
∵AC∥BE，CH⊥BE，
∴∠BHC=∠GCH=∠BGC=90°，
∴四边形CGBH是正方形．
由AC=CE=2GC=2CH，
∴∠CEH=30°，
∴∠CAE=∠CEA=∠AEB=15°，
又∵∠FAE=90°+45°+15°=150°，
∴∠F=180°-150°-15°=15°，
∴∠F=∠AEF，
∴AE=AF．

点评 本题综合考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，三角形的外角性质，正方形的性质和判定等知识点，此题综合性较强，但难度适中．