Question

3．若（x²+px-$\frac{1}{3}$）（x²-3x+q）的积中不含x项与x³项．
（1）求p、q的值；
（2）求代数式（-2p²q）²+（3pq）^-1+p²⁰¹³q²⁰¹⁴的值．

Answer 1

分析 （1）将原式根据多项式乘以多项式法则展开后合并同类项，由积中不含x项与x³项可知x项与x³项的系数均等于0，可得关于p、q的方程组，解方程组即可；
（2）由（1）中p、q的值得pq=-1，将原式整理变形成4p²（pq）²+$\frac{1}{3pq}$+（pq）²⁰¹³•q，再将p、q、pq的值代入计算即可．

解答 解：（1）（x²+px-$\frac{1}{3}$）（x²-3x+q）=x⁴-3x³+qx²+px³-3px²+pqx-$\frac{1}{3}$x²+x-$\frac{1}{3}$q
=x⁴+（p-3）x³+（q-3p-$\frac{1}{3}$）x²+（pq+1）x-$\frac{1}{3}$q，
∵积中不含x项与x³项，
∴$\left\{\begin{array}{l}{p-3=0}\\{pq+1=0}\end{array}\right.$，
解得：p=3，q=-$\frac{1}{3}$；

（2）∵p=3，q=-$\frac{1}{3}$，
∴pq=-1，
∴（-2p²q）²+（3pq）^-1+p²⁰¹³q²⁰¹⁴=4p⁴q²+$\frac{1}{3pq}$+p²⁰¹³q²⁰¹⁴
=4p²（pq）²+$\frac{1}{3pq}$+（pq）²⁰¹³•q
=4×3²×1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$
=36．

点评 本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项、漏字母、有同类项的合并同类项，解题的关键是正确求出p，q的值．