题目内容
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，点D、E在边AC上，AD=4cm，点E是CD的中点，以DE为边的矩形DEFG的顶点G在边AB上，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AC向点C运动，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，设点P的运动时间为t（s），矩形DEFG与△PCQ重叠部分图形的面积为s（cm2）．（1）在点P的运动过程中，当线段PQ与矩形DEFG的边DG有交点，令交点为H，用含t的代数式表示线段DH的长．
（2）求s与t的函数关系式．
（3）点P出发的同时，动点M从点D出发，以acm/s的速度沿D-G-F-E-F运动，点N是线段PQ中点，在点P的运动过程中，若点M、N能够重合在矩形DEFG的边上，求动点M的速度a．
分析 （1）由△ADG∽△ACB求出DG，再由△PDH∽ADG，求出DH，即可；
（2）分四段当0＜t≤2时，当2＜t≤4时，当4＜t≤6时，当6＜t≤8时分别求出面积即可；
（3）先判断出，只有点M在EF上时，点P与D重合，M，N才能重合，此时t=4，点M走的路程为at．依题意，由at=8-$\frac{3}{2}$或at=8+$\frac{3}{2}$．
解答 解：（1）由运动有，AP=t，AD=4，
∴PD=4-t，
∵△ADG∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{DG}{BC}$，
∴DG=3，
∵△PDH∽ADG，
∴$\frac{DH}{DG}=\frac{PD}{AD}$，
∴$\frac{DH}{3}=\frac{4-t}{4}$，
∴DH=$\frac{3}{4}$（4-t）=3-$\frac{3}{4}$t，
（2）当0＜t≤2时，如图1，
S=S四边形DEFG-S△GFH=3×2-$\frac{1}{2}$t×$\frac{3}{4}$t=6-$\frac{3}{8}$t2，
当2＜t≤4时，如图2，
S=S四边形DEFG=$\frac{1}{2}$×2[$\frac{3}{4}$（4-t）+$\frac{3}{4}$（6-t）]=$\frac{15}{2}$-$\frac{3}{2}$t，
当4＜t≤6时，如图3，
S=S△GFH=$\frac{1}{2}$×（6-t）×$\frac{3}{4}$（6-t）=$\frac{3}{8}$t2-$\frac{9}{2}$t+$\frac{27}{2}$，
当6＜t≤8时，S=0，
（3）由题意知，只有点M在EF上时，点P与D重合，M，N才能重合，此时t=4，
点M走的路程为at．依题意，由at=8-$\frac{3}{2}$或at=8+$\frac{3}{2}$，
∴a=$\frac{13}{8}$或a=$\frac{19}{8}$．
点评 此题是四边形综合题，主要考查了三角形相似，三角形，四边形的面积的计算方法，解本题的关键是表示出线段，也是难点．
已知，如图，抛物线y=-x2+ax+b与x轴从左至右交于A、B两点，与y轴正半轴交于点C．设∠OCB=α，∠OCA=β，且tanα-tanβ=2，OC2=OA•OB．
如图，△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，试说明$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$．