Question

8．如图，点M为正方形ABCD的边AB（或BA）延长线上任意一点，MN⊥DM且与∠ABC外角的平分线交于点N，此时MD与MN有何数量关系？并加以证明．

Answer 1

分析 结论：DM=MN．延长AD使得DH=BM，只要证明△DHM≌△MBN即可解决问题．

解答 结论：DM=MN．
证明：延长AD使得DH=BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，
∴AH=AM，∠H=∠AMH=45°，
∵BN平分∠CBE，∠CBE=90°，
∴∠NBM=∠H=45°，
∵∠NME+∠AMD=90°，∠AMD+∠ADM=90°，
∴∠ADM=∠NME，
∴∠HDM=∠NMB，
在△DHM和△MBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠NBM}\\{∠HDN=∠NMB}\\{DH=BM}\end{array}\right.$，
∴△DHM≌△MBN，
∴DM=MN．

点评 本题考查正方形性质．全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会添加辅助线的方法，属于中考常考题型．