Question

如图所示，直角三角形ABC中，四边形DECF是正方形，观察图（1）和图（2），请回答下列问题：

（1）请简述由图（1）变换成图（2）的形成过程；
（2）证明：∠A₁DB=90°；
（3）若AD=3，BD=4，△ADE与△BDF的面积和是

 

（直接写答案）

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：

分析：（1）观察图形，发现DA旋转到DA₁，DE旋转到DF，而∠EDF=90°，由旋转的定义即可描述由图（1）变成图（2）的形成过程；
（2）根据旋转的性质可得∠ADA₁=90°，再根据平角的定义证明；
（3）由图形的旋转可知，图形顺时针旋转了90°，即∠EDF=∠ADA₁=90°，可得∠A₁DB=90°，△ADE和△BDF面积的和即为△A₁DB的面积．

解答：（1）解：∵四边形DECF为正方形，
∴∠EDF=90°，DE=DF，
∴DA绕点D逆时针旋转90度到DA₁的位置，DE绕点D逆时针旋转90度到DF位置，
∴图1中的△ADE绕点D逆时针旋转90°得到图2；

（2）证明：由旋转的性质，旋转角∠EDF=∠ADA₁=90°，
∴∠A₁DB=180°-∠ADA₁=180°-90°=90°；

（3）解：由旋转得：AD=A₁D=3，
∵∠A₁DB=90°，
∴S_△ADE+S_△BDF=S_△A1BD=

1

2

×A₁D×BD=

1

2

×3×4=6．
故答案为：6．

点评：本题考查了旋转的性质，（2）熟记旋转的性质并确定出旋转角的度数是解题的关键，（3）通过旋转将两个图形“移”到同一个图形中去，便于计算面积．