Question

已知：在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连结AE分别交DC、DB于F、G．求证：
（1）∠DAG=∠DCG； 
（2）AG²=GE•GF；
（3）已知GF=

3

-1，EF=2

3

-2，求该正方形的边长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）根据正方形的性质易证△ADG≌△CDG，利用全等三角形的性质即可得到∠DAG=∠DCG；
（2）由（1）可知：△ADG≌△CDG，所以AG=CG，若证明AG²=GE•GF，即证明CG²=GE•GF，则问题又可转化为证明：△GCF∽△GEC即可；
（3）利用（2）中的结论可求出CG的长，进而得打CF：CE的值，再利用勾股定理即可求出CE和CF的长，再证明△EFC∽△EAB，利用相似三角形的性质即可求出AB的长，问题得解．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠ADG=∠CDG=45°，
在△ADG和△CDG中，

AD=DC ∠ADG=∠CDG DG=DG

，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG=∠DCG；
（2）∵AD∥BE，
∴∠DAG=∠E，
∵△ADG≌△CDG，
∴∠DAG=∠GCD，AG=CG，
∴∠GCD=∠E，
∵∠GCE=∠GCD+90°，∠GFC=∠DAG+90°，
∴∠GFC=∠GCE，
∴△GCF∽△GEC，
∴CG²=GE•GF，
∴AG²=GE•GF；
（3）∵GF=

3

-1，EF=2

3

-2，
∴GE=GF+EF=3

3

-3，
∵CG²=GE•GF，
∴CG=3-

3

，
∴GF：CG=CF：CE=1：

3

，
∵EF=2

3

-2，
∴CF=

3

-1，CE=3-3

3

，
∵CF∥AB，
∴△EFC∽△EAB，
∴

CF

AB

=

CE

BE

，
∴

3 -1

AB

=

3- 3

3- 3 +AB

，
解得：AB=

3

．

点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性强，难度大，解题的关键是注意图形中相等线段的替代．