Question

4．在平面直角坐标系中xOy中，正方形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁，A₃B₃C₃C₂，…，按如图的方式放置．点A₁，A₂，A₃…、A_n和点C₁，C₂，C₃…、C_n分别落在直线y=x+1和x轴上．抛物线L₁过点A₁、B₁，且顶点在直线y=x+1上，抛物线L₂过点A₂、B₂，且顶点在直线y=x+1上，…，按此规律，抛物线L_n过点A_n、B_n，且顶点也在直线y=x+1上，其中抛物线L₁交正方形A₁B₁C₁O的边A₁B₁于点D₁，抛物线L₂交正方形A₂B₂C₂C₁的边A₂B₂于点D₂…，抛物线L_n交正方形A_nB_nC_nC_n-1的边A_nB_n于点D_n（其中n≥2且n为正整数）．
（1）直接写出下列点的坐标：B₁（1，1），B₂（3，2），B₃（7，4）；
（2）写出抛物线L₂，、L₃的解析式，并写出其中一个解析式的求解过程，再猜想抛物线L_n的顶点坐标（3×2^n-2-1，3×2^n-2）；
（3）①设A₁D₁=k•D₁B₁，A₂D₂=k₂•D₂B₂，试判断k₁与k₂的数量关系并说明理由；
②点D₁、D₂、…，D_n是否在一条直线上？若是，直接写出这条直线与直线y=x+1的交点坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出直线y=x+1与y轴的交点坐标即可得出A₁的坐标，故可得出OA₁的长，根据四边形A₁B₁C₁O是正方形即可得出B₁的坐标，再把B₁的横坐标代入直线y=x+1即可得出A₁的坐标，同理可得出B₂，B₃的坐标；
（2）根据四边形A₁B₁C₁O是正方形得出C₁的坐标，再由点A₂在直线y=x+1上可知A₂（1，2），B₂的坐标为（3，2），由抛物线L₂的对称轴为直线x=2可知抛物线L₂的顶点为（2，3），再用待定系数法求出直线L₂的解析式；根据B₃的坐标为（7，3），同上可求得点A₃的坐标为（3，4），抛物线L₃的对称轴为直线x=5，同理可得出直线L₂的解析式；
（3）①同（2）可求得L₂的解析式为y=（x-2）²+3，当y=1时，求出x的值，由A₁D₁=$\sqrt{2}$-D₁B₁，可得出k₁的值，同理可得出k₂的值，由此可得出结论；
②由①中的结论可知点D₁、D₂、…，D_n是否在一条直线上，再用待定系数法求出直线D₁D₂的解析式，求出与直线y=x+1的交点坐标即可．

解答 解：（1）∵令x=0，则y=1，
∴A₁（0，1），
∴OA₁=1．
∵四边形A₁B₁C₁O是正方形，
∴A₁B₁=1，
∴B₁（1，1）．
∵当x=1时，y=1+1=2，
∴B₂（3，2）；
同理可得，B₃（7，4）．
故答案为：（1，1），（3，2），（7，4）；

（2）抛物线L₂、L₃的解析式分别为：y=-（x-2）²+3；，y=-$\frac{1}{2}$（x-5）²+6；
抛物线L₂的解析式的求解过程：
对于直线y=x+1，设x=0，可得y=1，A₁（0，1），
∵四边形A₁B₁C₁O是正方形，
∴C₁（1，0），
又∵点A₂在直线y=x+1上，
∴点A₂（1，2），
又∵B₂的坐标为（3，2），
∴抛物线L₂的对称轴为直线x=2，
∴抛物线L₂的顶点为（2，3），
设抛物线L₂的解析式为：y=a（x-2）²+3，
∵L₂过点B₂（3，2），
∴当x=3时，y=2，
∴2=a（3-2）²+3，解得：a=-1，
∴抛物线L₂的解析式为：y=-（x-2）²+3； 
抛物线L₃的解析式的求解过程：
又∵B₃的坐标为（7，3），同上可求得点A₃的坐标为（3，4），
∴抛物线L₃的对称轴为直线x=5，
∴抛物线L₃的顶点为（5，6），
设抛物线L₃的解析式为：y=a（x-5）²+6，
∵L₃过点B₃（7，4），
∴当x=7时，y=-4，
∴4=a×（7-5）²+6，解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线L₃的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$（x-5）²+6；
猜想抛物线L_n的顶点坐标为（3×2^n-2-1，3×2^n-2）；
（猜想过程：方法1：可由抛物线L₁、L₂、L₃…的解析式：
∵y=-2（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，y=-（x-2）²+3，y=-$\frac{1}{2}$（x-5）²+6…，归纳总结；
方法2：可由正方形A_nB_nC_nC_n-1顶点A_n、B_n的坐标规律A_n（2^n-1-1，2^n-1）与
B_n（2ⁿ，2^n-1），再利用对称性可得抛物线L_n的对称轴为直线x=$\frac{{2}^{n}-1+{2}^{n-1}-1}{2}$，即x=$\frac{{2}^{n-1}（4+2）-2}{2}$=3×2^n-2-1，又顶点在直线 y=x+1上，
所以可得抛物线L_n的顶点坐标为（3×2^n-2-1，3×2^n-2）．
故答案为：（3×2^n-2-1，3×2^n-2）；

（3）①、k₁与k₁的数量关系为：k₁=k₂，
理由如下：同（2）可求得L₂的解析式为y=（x-2）²+3，
当y=1时，1=-（x-2）²+3解得：x₁=2-$\sqrt{2}$，x₂=2+$\sqrt{2}$，
∴x=2-$\sqrt{2}$，
∴A₁D₁=2-$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$-1），
∴D₁B₁=1-（2-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$-1，
∴A₁D₁=$\sqrt{2}$-D₁B₁，即k₁=$\sqrt{2}$；
同理可求得A₂D₂=4-2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$-1），
D₂B₂=2-（4-2$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$-2=2（$\sqrt{2}$-1），
A₂D₂=$\sqrt{2}$-D₂B₂，即k₂=$\sqrt{2}$，
∴k₁=k₂；
②∵由①知，k₁=k₂，
∴点D₁、D₂、…，D_n在一条直线上；
∵抛物线L₂的解析式为y=-（x-2）²+3，
∴当y=1时，x=2-$\sqrt{2}$，
∴D₁（2-$\sqrt{2}$，1）；
同理，D₂（5-2$\sqrt{2}$，2），
∴设直线D₁D₂的解析式为y=kx+b（k≠0），则$\left\{\begin{array}{l}（2-\sqrt{2}）k+b=1\\（5-2\sqrt{2}）k+b=2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=3+\sqrt{2}\\ b=\sqrt{2}+3\end{array}\right.$，
∴直线D₁D₂的解析式为y=（3+$\sqrt{2}$）x+$\sqrt{2}$-3，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=（3+\sqrt{2}）x+\sqrt{2}+3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=0\end{array}\right.$，
∴这条直线与直线y=x+1的交点坐标为（-1，0）．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象上点的坐标特点，正方形的性质等知识，熟练掌握正方形的四条边相等且四个角都是直角的知识是解答此题的关键．