Question

19．在△ABC中AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD，垂足为M，求证：AM=$\frac{1}{2}$（AB+CA）

Answer 1

分析 延长AM到E，使ME=AM，连接CE，求出AC=CE，求出DE=EC，即可得出答案．

解答 证明：延长AM到E，使ME=AM，连接CE，
则AE=2AM，
∵CM⊥AE，
∴AC=CE，
∴∠E=∠CAD=∠DAB，
∴AB∥EC，
∴∠B=∠ECD，
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵∠ADB=∠EDC，
∴∠ECD=∠EDC，
∴EC=ED，
∴AE=2AM=AD+ED=AB+AC．
∴AM=$\frac{1}{2}$（AB+CA）．

点评 本题考查了平行线的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出DE=EC，题目比较好，但是有一定的难度．