Question

8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．
（1）探索AB与BF的数量关系，说明理由．
（2）若BF=1，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）首先证明AC=AB，再证明△CDE≌△DBF，推出DE=DF，CE=BF，由题意AE=2BF，AC=AB=3BF．
（2）只要证明△CED∽△CDA，得CD²=CE•CA，由此即可解决问题．

解答 解：（1）结论：AB=3BF．
理由：∵BF∥AC，
∴∠C=∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC=∠CBF，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AD平分∠BAC，
∴DC=BD，
在△CDE与△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠CBF}\\{CD=BD}\\{∠EDC=∠BDF}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△DBF（ASA），
∴DE=DF，CE=BF，
∵AE=2BF，
∴AC=3BF，
∴AB=3BF．

（2）∵AC=AB，CD=BD，DE⊥AC，
∴AD⊥BC，
∴∠CDA=∠CED=90°，∵∠C=∠C，
∴△CED∽△CDA，
∴CD²=CE•CA，
∵CE=BF=1，AC=3BF=3，
∴CD²=3，
∴CD=$\sqrt{3}$，
∴BC=2CD=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．