Question

17．直线y=$\frac{2}{3}$x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，O是原点．
（1）求△AOB的面积；
（2）过△AOB的顶点能不能画出直线把△AOB分成面积相等的两部分？若能，可以画几条？写出这样的直线解析式．

Answer 1

分析 （1）分别令y=$\frac{2}{3}$x-3中x、y=0求出与之相对应的y、x的值，由此即可得出点B、A的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△AOB的面积；
（2）分别取线段AB的中点C、OA的中点D、OB的中点E，连接OC、BD、AE即可得出把△AOB分成面积相等的两部分的直线，根据点O、A、B的坐标即可得出点C、D、E的坐标，再由点的坐标利用待定系数法求出函数解析式即可．

解答 解：（1）令x=0，y=$\frac{2}{3}$x-3=-3，
∴点B的坐标为（0，-3）；
令y=$\frac{2}{3}$x-3=0，解得：x=$\frac{9}{2}$，
∴点A的坐标为（$\frac{9}{2}$，0）．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{9}{2}$=$\frac{27}{4}$．
（2）能画出三条，如图所示．
∵点A（$\frac{9}{2}$，0），点B（0，-3），点O（0，0），
∴C（$\frac{9}{4}$，-$\frac{3}{2}$），D（$\frac{9}{4}$，0），E（0，-$\frac{3}{2}$）．
设直线OC的解析式为y=kx，
将点C（$\frac{9}{4}$，-$\frac{3}{2}$）代入y=kx，
-$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{4}$k，解得：k=-$\frac{2}{3}$，
∴直线OC的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x；
同理可求出：直线BD的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-3；直线AE的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及待定系数法求一次函数解析式，根据三角形的面积公式确定把△AOB分成面积相等的两部分的直线经过点的坐标是解题的关键．