Question

11．如图，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求AC的长．

Answer 1

分析 （1）先根据三角形中线的定义得出BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=5，然后在△ABD中，根据勾股定理的逆定理即可证明AD⊥BC；
（2）由（1）可得∠ADC=90°，再根据勾股定理即可求出AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=13．

解答 （1）证明：∵AD是BC边上的中线，BC=10，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=5．
∵BD²+AD²=5²+12²=169，
AB²=13²=169，
∴BD²+AD²=AB²，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，
∴AD⊥BC；

（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵AD=12，DC=5，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=13．

点评 本题考查了勾股定理及其逆定理，关键是利用勾股定理的逆定理证得AD⊥BC．其中第（2）问也可以利用线段垂直平分线的性质得出AC=AB=13．