Question

6．如图1，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，点P为AB 边上的一个动点，设AP=x，图1中线段DP的长为y，若表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则等边△ABC的面积为（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 12
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 从图2的函数图象为抛物线得知，y与x满足二次函数关系，同时y的最小值为$\sqrt{3}$，结合等边三角形的图形可知，当点P运动到DP⊥AD位置时，DP长为最小值，利用等边三角形的特殊角可求出边长，从而得出等边三角形△ABC的面积．

解答 解：由图二可得y_最小值=$\sqrt{3}$
∵△ABC为等边三角形，分析图一可知，当P点运动到DP⊥AB时，DP长为最小值
∴此时的DP=$\sqrt{3}$
∵∠B=60°  
∴sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{BD}$     解得BD=2
∵D为BC的中点
∴BC=4   连接AD
∵△ABC为等边三角形
∴AD⊥BC
∴tan60°=$\frac{AD}{BD}$
∴AD=2$\sqrt{3}$∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$
   所以选D

点评 本题通过函数图象把动点带来的最小值进行了呈现，正确理解P点运动到何处时DP长最小是关键，同时也考察了学生对函数图象的观察，难度适中．