Question

14．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB=60°，AD=2$\sqrt{3}$时，求sin∠AED的值．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的判定得出边形OCED是平行四边形，根据菱形的性质求出∠COD=90°，根据矩形的判定得出即可；
（2）解直角三角形求出AO、DO、求出AC、CE，根据勾股定理求出AE，解直角三角形求出即可．

解答 （1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
∴四边形OCED是矩形；
                 
（2）解：∵∠ADB=60°，AD=2$\sqrt{3}$，
∴OD=$\sqrt{3}$，AO=3，
∴CE=$\sqrt{3}$，AC=6，
由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{39}$，
∴sin∠AED=sin∠CAE=$\frac{CE}{AE}$$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{39}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，注意：菱形的对角线互相平分且垂直．