Question

6．如图，在?ABCD中，O为对角线BD的中点，BE平分∠ABC且交AD于点P，交CD的延长线于点E；作EO交AD于点F，交BC于点G．
（1）求证：DF=BG；
（2）若AB=6，AD=9，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）连接FB、DG，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形FBGD是平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可；
（2）根据角平分线的定义和相似三角形的判定定理和性质定理计算即可．

解答 （1）证明：连接FB、DG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CD，又BO=OD，
∴GO=OF，
∴四边形FBGD是平行四边形，
∴DF=BG；
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠EBC，
∴∠ABE=∠APB，
∴AP=AB=6，
∴PD=9-6=3，
∵AD∥BC，PD=3，BC=9，
∴$\frac{EP}{EB}$=$\frac{1}{3}$，又BG=DF，
∴PF=$\frac{1}{3}$DF，又PD=3，
∴DF=$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、平行四边形的对边平行且相等是解题的关键．