Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是AB的中点，点D，E是AC，BC边上的动点，且AD=CE，连接DE．有下列结论：
①∠DPE=90°；
②四边形PDCE面积为1；
③点C到DE距离的最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
其中，正确的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 （1）易证△ADP≌△CEP，从而可得FD=PE，∠APD=∠CPE，即可得到∠DPE=∠APC=90°，从而可得△DPE是等腰直角三角形．
（2）当PD⊥AC时，易证四边形CEDP是矩形，由PD=PE可得矩形CEDP是正方形；由△ADP≌△CEP可得S_△ADP=S_△CEP，从而可得S_{四边形CEDP}=S_△AFC=$\frac{1}{2}$S_△ABC（定值）；
（3）易得当DE⊥CP时，点C到线段DE的距离最大，等于$\frac{1}{2}$CF，只需求出CP，即可得到点C到线段DE的最大距离

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=CB=4，F是AB边上的中点，
∴CP=AP=BP，CP⊥AB，
∴∠A=∠B=∠ACP=∠BCP=45°．
在△ADP和△CEP中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}\\{∠A=∠ECP}\\{AP=CP}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△CEP
∴PD=PE，∠APD=∠CPE，
∴∠DPE=∠APC=90°，
故（1）正确；
（2）当PD⊥AC时，
∵∠DCE=∠CDP=∠DPE=90°，
∴四边形CEDP是矩形．
∵PD=PE，
∴矩形CEDP是正方形．
∵△ADP≌△CEP，
∴S_△ADP=S_△CEP，
∴S_{四边形CEDP}=S_△AFC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×2×2=1．
故（2）正确；
（3）如图，

连接CP交DE于F，由（1）知，∠DPE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴点C，D，P，E是以DE为直径的圆上，
∴当DE⊥CP时，点C到线段DE的距离最大，为 $\frac{1}{2}$CP，
在Rt△ABC中，CP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$
即 $\frac{1}{2}$CP=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故（3）正确．
综上所述：（1）（2）（3）正确．
故选D．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，通过推理论证每个命题的正误是解决此类题目的关键．