Question

8．如图，在△ABC中，BD=2AC，CD⊥BC，E是BD的中点，求证：∠A=2∠B．

Answer 1

分析 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=BE=$\frac{1}{2}$BD，根据等边对等角可得∠B=∠BCE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CED=2∠B，然后求出AC=CE，根据等边对等角可得∠A=∠CED．

解答 证明：∵CD⊥BC，E是BD的中点，
∴CE=BE=$\frac{1}{2}$BD，
∴∠B=∠BCE，
由三角形的外角性质得，∠CED=∠B+∠BCE=2∠B，
∵BD=2AC，
∴AC=$\frac{1}{2}$BD，
∴AC=CE，
∴∠CED=∠A，
∴∠A=2∠B．

点评 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．