Question

17．如果|x|≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，那么函数y=-x²+x+1的最小值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
• C． -1
• D． $\frac{1-\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 因为y=-x²+x+1开口向下，对称轴x=$\frac{1}{2}$，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大，在对称轴右侧，y随着x的增大而减小，再由|x|≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得出-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入两个最低点，比较得出答案即可．

解答 解：∵y=-x²+x+1的-1＜0，
∴开口向下，对称轴x=$\frac{1}{2}$，
∵|x|≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴左侧最低点y=-（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）+1=$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$，
右侧最低点y=-（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，
∵$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$＜$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，
∴|x|≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，那么函数y=-x²+x+1的最小值是$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$．
故选：D．

点评 此题考查二次函数的最值，掌握二次函数的性质，求得对称轴是解决问题的关键．