Question

在四边形ABCD中，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=2

6

，则CD=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,勾股定理

专题：

分析：以DC为边作等边三角形DCE，易证∠ACE=∠BCD，即可证明△BCD≌△ACE，可得BD=AE，易证∠ADE=90°，根据勾股定理即可求得DE的长，即可解题．

解答：解：以DC为边作等边三角形DCE，

∵△ABC，△DCE是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
∵在△BCD和△ACE中，

BC=AC ∠ACE=∠BCD CD=CE

，
∴△BCD≌△ACE，（SAS）
∴BD=AE，
∵∠ADC=30°，∠CDE=60°，
∴∠ADE=90°，
∴DE²=AE²-AD²=BD²-AD²=15，
∴CD=DE=

15

．
故答案为

15

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证△BCD≌△ACE是解题的关键．