Question

观察下列算式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
将以上三个式子两边分别相加，得

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

，
（1）猜想：

1

n(n+1)

=

 

；
（2）直接写出下列各式的结果：
①已知|ab-2|+|a-1|=0，则

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+

1

(a+2)(b+2)

+…

1

(a+2014)(b+2014)

=

 

；
②

1

100×101

+

1

101×102

+…+

1

n(n+1)

=

 

；
（3）探究并计算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2012×2014

．

Answer 1

考点：分式的加减法,有理数的混合运算

专题：规律型

分析：（1）观察已知等式，猜想得到结果即可；
（2）①利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式后利用拆项法变形，计算即可得到结果；
②原式利用拆项法变形后，计算即可得到结果；
（3）原式利用拆项法变形后，计算即可得到结果．

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）①∵|ab-2|+|a-1|=0，
∴a=1，b=2，
则原式=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2015×2016

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2015

-

1

2016

=1-

1

2016

=

2015

2016

；
②原式=

1

100

-

1

101

+

1

101

-

1

102

+…+

1

n

-

1

n+1

=

1

100

-

1

n+1

=

n-99

100(n+1)

；
（3）原式=

1

2

（

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+…+

1

2012

-

1

2014

）=

1

2

（

1

2

-

1

2014

）=

1021

4028

．
故答案为：（1）

1

n

-

1

n+1

；（2）①

2015

2016

；②

n-99

100(n+1)

点评：此题考查了分式的加减法，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．