Question

19．如图，AB为⊙O的直径，ED切⊙O于点C，过点A作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G，连接AC；
（1）猜想线段AC、AB与AF之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如果CF=4，GF=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连结BC、OC，然后依据切线的性质可知OC⊥DE，从而可证明OC∥AF，然后依据平行线的性质和等腰三角形的性质可证明∠BAC=∠CAF，故此可证明△ABC∽△ACF，依据相似三角形的性质可得到线段AC、AB与AF之间的数量关系；
（2）连结OC、CG，然后证明△CGF∽△ACF，依据相似三角形的性质可求得AF的长，依据勾股定理可求得AC的长，然后依据（1）中的结论求解即可．

解答 解：（1）AC²=AB•AF．
理由：如图所示：BC、OC．

∵ED切⊙O于点C，
∴OC⊥DE．
∵AF⊥ED，
∴OC∥AF．
∴∠OCA=∠CAF．
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC．
∴∠BAC=∠CAF．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°．
∴∠BCA=∠CFA．
∴△ABC∽△ACF．
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AF}$，即AC²=AB•AF．
（2）连结OC、CG．

∵DE为⊙O的切线，
∴∠GCF=∠CAF．
又∵∠AFC=∠CFG．
∴△CGF∽△ACF，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{CF}{FG}$，AF=$\frac{C{F}^{2}}{FG}$=8．
在Rt△ACF中，依据勾股定理可求得AC=4$\sqrt{5}$．
由（1）可知：AB=$\frac{A{C}^{2}}{AF}$=$\frac{80}{8}$=10．
∴OA=OB=5．
∴⊙O的半径为5．

点评 本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的性质和判定，掌握此类问题的辅助线的作法是解题的关键．