Question

18．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于点F
（1）求证：BF平分∠DFE；
（2）若EF=DF，BE=5，AH=$\frac{9}{4}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形性质和圆周角定理求出∠EFB=∠CDB，∠BCD=∠DFB，根据垂径定理求出CH=DH，求出BC=BD，根据等腰三角形性质求出∠BCD=∠CDB，求出∠EFB=∠DFB即可；
（2）根据全等三角形的判定求出△DFB≌△EFB，根据全等三角形的性质求出BD=BE=5，证△DHB∽△ADB，根据相似得出比例式，代入求出即可．

解答 （1）证明：∵C、D、B、F四点共圆，
∴∠EFB=∠CDB，∠BCD=∠DFB，
∵CD⊥OA，OA过O，
∴CH=DH，
∴BC=BD，
∴∠BCD=∠CDB，
∴∠EFB=∠DFB，
∴BF平分∠DFE；

（2）解：设⊙O的半径为R，
∵在△DFB和△EFB中
$\left\{\begin{array}{l}{DF=EF}\\{∠DFB=∠EFB}\\{FB=FB}\end{array}\right.$
∴△DFB≌△EFB（SAS），
∴BD=BE，
∵BE=5，
∴BD=5，
∵AB为⊙O直径，CD⊥AB，
∴∠ADB=∠DHB=90°，
∵∠DBH=∠ABD，
∴△DHB∽△ADB，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{BH}{BD}$，
∵AH=$\frac{9}{4}$，BD=5，AB=2R，BH=2R-$\frac{9}{4}$，
∴$\frac{5}{2R}$=$\frac{2R-\frac{9}{4}}{5}$，
解得：R=$\frac{25}{8}$，R=-2（舍去），
即⊙O的半径是$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，圆内接四边形，垂径定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．