Question

3．等腰△ABC、△EFC中，AB=AC，FE=FC，D为BE的中点，∠BAC+∠EFC=180°，求证：AD⊥FD．

Answer 1

分析 延长FD到M，使得DM=DF，连接BM、AM、AF，延长BA交FE于H，AC与FH交于点O．想办法证明△ABM≌△ACF，推出AM=AF即可解决问题．

解答 证明：延长FD到M，使得DM=DF，连接BM、AM、AF，延长BA交FE于H，AC与FH交于点O．

在△BDM和△EDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DE}\\{∠BDM=∠EDF}\\{DM=DF}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△EDF，
∴EF=BM=CF，∠DBM=∠DEF，
∴BM∥EF，
∴∠ABM=∠H，
∵∠BAC+∠EFC=180°，∠BAC+∠HAO=180°，
∴∠HAO=∠OFC，∵∠AOH=∠COF，
∴∠H=∠ACF，
∴∠ABM=∠ACF，
在△ABM和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABM=∠ACF}\\{BM=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACF，
∴AM=AF，∵DF=DM，
∴AD⊥DF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、同角的补角相等等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．