Question

20．当x分别取2016、2015、2014…、2、1、1、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、…、$\frac{1}{2014}$、$\frac{1}{2015}$、$\frac{1}{2016}$时，计算分式$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$的值，再将所得结果相加，其和等于（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． -1
• D． 2014

Answer 1

分析 设a为负整数，将x=a代入得：$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}$，将x=-$\frac{1}{a}$代入得：$\frac{（-\frac{1}{a}）^{2}-1}{（-\frac{1}{a}）^{2}+1}$=$\frac{\frac{1-{a}^{2}}{{a}^{2}}}{\frac{{a}^{2}+1}{{a}^{2}}}$=$\frac{1-{a}^{2}}{{a}^{2}+1}$，故此可知当x互为负倒数时，两分式的和为0，然后求得分式的值即可．

解答 解：∵将x=a代入得：$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}$，将x=-$\frac{1}{a}$代入得：$\frac{（-\frac{1}{a}）^{2}-1}{（-\frac{1}{a}）^{2}+1}$=$\frac{\frac{1-{a}^{2}}{{a}^{2}}}{\frac{{a}^{2}+1}{{a}^{2}}}$=$\frac{1-{a}^{2}}{{a}^{2}+1}$，
∴$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}$+$\frac{1-{a}^{2}}{{a}^{2}+1}$=0，
故当x分别取2016、2015、2014…、2、1、1、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、…、$\frac{1}{2014}$、$\frac{1}{2015}$、$\frac{1}{2016}$时，得出分式$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$的值，再将所得结果相加，其和等于：0．
故选：A．

点评 本题主要考查的是分式的加减，发现当x的值互为负倒数时，两分式的和为0是解题的关键．