Question

12．先化简再求值：$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}-2}$+$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}+2}$．其中a=$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 根据完全平方公式和算术平方根可以化简题目中的式子，然后将a的值代入即可解答本题．

解答 解：$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}-2}$+$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}+2}$
=$\sqrt{（a-\frac{1}{a}）^{2}}+\sqrt{（a+\frac{1}{a}）^{2}}$
∵a=$\sqrt{3}$-1，
∴$\frac{1}{a}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴a-$\frac{1}{a}$=$\sqrt{3}-1-\frac{\sqrt{3}+1}{2}=\frac{\sqrt{3}-3}{2}$＜0，a+$\frac{1}{a}=\sqrt{3}-1+\frac{\sqrt{3}+1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}-1}{2}$＞0，
∴原式=$\frac{1}{a}-a+a+\frac{1}{a}$=$\frac{2}{a}$=$2×\frac{\sqrt{3}+1}{2}$=$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．