Question

7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+2mx-m²-m+1
（1）当抛物线的顶点在x轴上时，求该抛物线的解析式；
（2）不论m取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上，求该直线的解析式；
（3）若有两点A（-1，0），B（1，0），且该抛物线与线段AB始终有交点，请直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用配方法求出抛物线的顶点坐标是（m，-m+1），根据顶点在x轴上，得出-m+1=0，求出m=1，即可得出抛物线的解析式；
（2）由于抛物线的顶点坐标是（m，-m+1），即可得出顶点在直线y=-x+1上；
（3）把点A（-1，0）代入y=-x²+2mx-m²-m+1，求出m的值，再把B（1，0）代入y=-x²+2mx-m²-m+1，求出m的值，即可求解．

解答 解：（1）∵y=-x²+2mx-m²-m+1=-（x-m）²-m+1，
∴顶点坐标是（m，-m+1），
∵抛物线的顶点在x轴上，
∴-m+1=0，
∴m=1，
∴y=-x²+2x-1；

（2）∵抛物线y=-x²+2mx-m²-m+1的顶点坐标是（m，-m+1），
∴抛物线的顶点在直线y=-x+1上；

（3）当抛物线y=-x²+2mx-m²-m+1过点A（-1，0）时，
-1-2m-m²-m+1=0，
解得m₁=0，m₂=-3，
当抛物线y=-x²+2mx-m²-m+1过点B（1，0）时，
-1+2m-m²-m+1=0，
解得m₁=0，m₂=1，
故-3≤m≤1．

点评 本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，求直线的解析式等知识，有一定难度．把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．