Question

4．“奔跑吧，兄弟！”节目组预设计一个新游戏：“奔跑”路线A、B、C、D四地，如图A、B、C三地在同一直线上，D在A北偏东30°方向，在C北偏西45°方向，C在A北偏东75°方向，且BD=BC=40m，从A地到D地的距离是20$\sqrt{6}$m．

Answer 1

分析 过点D作DE⊥BC于E，由方向角可得出∠DAC=45°、∠BCD=60°，结合BC=BD=40m，即可得出△BCD为等边三角形，进而可得出DE的长度，在Rt△ADE中，由∠AED=90°、∠DAE=45°，可得出AE=DE=20$\sqrt{3}$m，再利用勾股定理即可得出AD的长度．

解答 解：过点D作DE⊥BC于E，如图所示．
由题意可知：∠DAC=75°-30°=45°，∠BCD=180°-75°-45°=60°．
∵BC=BD=40m，
∴△BCD为等边三角形，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD=20$\sqrt{3}$m．
在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，
∴∠ADE=45°，
∴AE=DE=20$\sqrt{3}$m，AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=20$\sqrt{6}$m．
故答案为：20$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、勾股定理的应用以及等边三角形的判定与性质，根据方向角结合BC=BD找出△BCD为等边三角形是解题的关键．