Question

3．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形外一动点，∠AED=45°，P为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． 2+2$\sqrt{3}$
• D． 2+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，根据A，C，E，D四点共圆，可得OE=OD=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{2}$，再根据PE≤OP+OE=2+2$\sqrt{2}$，可得当点O在线段PE上时，PE=OP+OE=2+2$\sqrt{2}$，即线段PE的最大值为2+2$\sqrt{2}$．

解答 解：如图，连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，
∵∠AED=45°，∠ACD=45°，
∴A，C，E，D四点共圆，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴OE=OD=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{2}$，
∵P为AB的中点，O是BD的中点，
∴OP=$\frac{1}{2}$AD=2，
∵PE≤OP+OE=2+2$\sqrt{2}$，
∴当点O在线段PE上时，PE=OP+OE=2+2$\sqrt{2}$，
即线段PE的最大值为2+2$\sqrt{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查了正方形的性质、四点共圆、圆周角定理等知识的综合应用；熟练掌握正方形的性质，证明四点共圆是解决问题的关键．