Question

13．在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上．

（1）如图1，以OA为底边向第一象限作等腰△OAK，直线BC∥y轴，交AK，OK分别于点B，C．求证：AB=OC；
（2）如图2，点D（2a，0），（a＞0），点P（a，b）在线段AD上，连接PB，PC，求证：PB=PC；
（3）如图3（示意草图），已知A（0，2），E（6，3），M（m，0），N（m+1，0），若AM+MN+NE最小，请在备用图中画出线段MN（保留主要画图痕迹），并求出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠CBK=∠BCK，推出BK=CK，根据KA=KC，即可推出AB=OC；
（2）如图2中，连接PO．只要证明△PAB≌△POC即可解决问题；
（3）如图4中，将点A向右平移1个单位得到A′，作点A′关于x轴的对称点A″，连接A″E交x轴于N，点N向左平移1个单位得到点M，则此时AM+MN+NE的值最小．求出直线A″E的解析式，求出点N的坐标即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，

∵KA=KO，
∴∠KAO=∠KOA，
∵BC∥OA，
∴∠CBK=∠OAK，∠BCK=∠AOK，
∴∠CBK=∠BCK，
∴BK=CK，
∵KA=KO，
∴AB=OC．

（2）如图2中，连接PO．

∵点D（2a，0），（a＞0），点P（a，b）在线段AD上，
∴PA=PD，∵∠AOD=90°，
∴PO=PA=PB，
∴∠PAO=∠POA，
∵∠BAC=∠COA（由（1）可知，
∴∠PAB=∠POC，
∵BA=OC（已证），
∴△PAB≌△POC，
∴PB=PC．

（3）如图4中，将点A向右平移1个单位得到A′，作点A′关于x轴的对称点A″，连接A″E交x轴于N，点N向左平移1个单位得到点M，则此时AM+MN+NE的值最小．

易知A″（1，-2），E（6，3），
设直线A″E的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-2}\\{6k+b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴y=x-3，
∴N（3，0），
∵MN=1，
∴点M的坐标为（2，0）．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、两点之间线段最短、一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用的长解决最短问题，学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．