Question

14．如图，已知点A（$2\sqrt{3}$，3），AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，则当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先，需要证明线段B₀B_n就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB₀B_n∽△AON，求出线段B₀B_n的长度，即点B运动的路径长．

解答 解：由题意可知，OM=2$\sqrt{3}$，点N在直线y=-x上，AC⊥x轴于点M，
则△OMN为等腰直角三角形，ON=$\sqrt{2}$OM=$\sqrt{2}$×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{6}$．
如答图①所示，
设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B₀，动点P在N点（终点）时，点B的位置为B_n，连接B₀B_n．
∵AO⊥AB₀，AN⊥AB_n，
∴∠OAC=∠B₀AB_n，
又∵AB₀=AO•tan30°，AB_n=AN•tan30°，
∴AB₀：AO=AB_n：AN=tan30°（此处也可用30°角的Rt△三边长的关系来求得），
∴△AB₀B_n∽△AON，且相似比为tan30°，
∴B₀B_n=ON•tan30°=2$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{2}$．
现在来证明线段B₀B_n就是点B运动的路径（或轨迹）．
如答图②所示，
当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为B_i，连接AP，AB_i，B₀B_i．
∵AO⊥AB₀，AP⊥AB_i，
∴∠OAP=∠B₀AB_i，
又∵AB₀=AO•tan30°，AB_i=AP•tan30°，
∴AB₀：AO=AB_i：AP，
∴△AB₀B_i∽△AOP，
∴∠AB₀B_i=∠AOP．
又∵△AB₀B_n∽△AON，
∴∠AB₀B_n=∠AOP，
∴∠AB₀B_i=∠AB₀B_n，
∴点B_i在线段B₀B_n上，即线段B₀B_n就是点B运动的路径（或轨迹）．
综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B₀B_n，其长度为2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．