Question

4．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．
（1）求证：CA=CN；
（2）连接DF，若cos∠DFA=$\frac{4}{5}$，AN=2$\sqrt{10}$，求圆O的直径的长度．

Answer 1

分析 （1）连接OF，根据切线的性质结合四边形内角和为360°，即可得出∠M+∠FOH=180°，由三角形外角结合平行线的性质即可得出∠M=∠C=2∠OAF，再通过互余利用角的计算即可得出∠CAN=90°-∠OAF=∠ANC，由此即可证出CA=CN；
（2）连接OC，由圆周角定理结合cos∠DFA=$\frac{4}{5}$、AN=2$\sqrt{10}$，即可求出CH、AH的长度，设圆的半径为r，则OH=r-6，根据勾股定理即可得出关于r的一元一次方程，解之即可得出r，再乘以2即可求出圆O直径的长度．

解答 （1）证明：连接OF，则∠OAF=∠OFA，如图所示．
∵ME与⊙O相切，
∴OF⊥ME．
∵CD⊥AB，
∴∠M+∠FOH=180°．
∵∠BOF=∠OAF+∠OFA=2∠OAF，∠FOH+∠BOF=180°，
∴∠M=2∠OAF．
∵ME∥AC，
∴∠M=∠C=2∠OAF．
∵CD⊥AB，
∴∠ANC+∠OAF=∠BAC+∠C=90°，
∴∠ANC=90°-∠OAF，∠BAC=90°-∠C=90°-2∠OAF，
∴∠CAN=∠OAF+∠BAC=90°-∠OAF=∠ANC，
∴CA=CN．

（2）连接OC，如图2所示．
∵cos∠DFA=$\frac{4}{5}$，∠DFA=∠ACH，
∴$\frac{CH}{AC}$=$\frac{4}{5}$．
设CH=4a，则AC=5a，AH=3a，
∵CA=CN，
∴NH=a，
∴AN=$\sqrt{A{H}^{2}+N{H}^{2}}$=$\sqrt{（3a）^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{10}$a=2$\sqrt{10}$，
∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8．
设圆的半径为r，则OH=r-6，
在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r-6，
∴OC²=CH²+OH²，r²=8²+（r-6）²，
解得：r=$\frac{25}{3}$，
∴圆O的直径的长度为2r=$\frac{50}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质、勾股定理、解直角三角形、圆周角定理以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）通过角的计算找出∠CAN=90°-∠OAF=∠ANC；（2）利用解直角三角形求出CH、AH的长度．