Question

3．如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中，
①AE和BF的位置关系为AE⊥BF．；
②线段MN的最小值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 ①由△ABE≌△BCF（SAS），推出∠BAE=∠CBF，AE=BF，由∠BAE+∠BEA=90°，推出∠CBF+∠BEA=90°，推出∠APB=90°；
②由点P在运动中保持∠APB=90°，推出点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小；

解答 解：①如图，∵动点F，E的速度相同，
∴DF=CE，
又∵CD=BC，
∴CF=BE，
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCF=90°}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠APB=90°，
∴AE⊥BF，
②∵点P在运动中保持∠APB=90°，
∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，
设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△BCG中，CG=$\sqrt{B{C}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵PG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，
∴CP=CG-PG=$\frac{\sqrt{5}}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
即线段CP的最小值为 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案为AE⊥BF，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题为四边形的综合应用，涉及全等三角形、勾股定理、正方形的性质、圆的有关知识等知识点．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，学会利用辅助圆解决问题，掌握求圆外一点到圆的点的距离的最值问题的方法，属于中考填空题中的压轴题．