Question

16．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm²．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论：
①0＜t≤5时，y=$\frac{4}{5}{t^2}$；
②当t=6秒时，△ABE≌△PQB；
③cos∠CBE=$\frac{4}{5}$；
④当t=$\frac{29}{2}$秒时，△ABE∽△QBP；
⑤线段NF所在直线的函数关系式为：y=-4x+96．
其中正确的是①②④．（填序号）

Answer 1

分析 根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为四段，①当点P在BE上运动，点Q到达点C时；②当点P到达点E时，点Q静止于点C，从而得到BC、BE的长度；③点P到达点D时，点Q静止于点C；④当点P在线段CD上，点Q仍然静止于点C时．

解答 解：当0＜t≤5时，点P在线段BE上运动．如图（1）所示：过点P作PF⊥BQ，垂足为F．

S_△BPQ=$\frac{1}{2}$PF•BQ=$\frac{1}{2}$BP•sin∠CBE•BQ=$\frac{1}{2}$t•sin∠CBE•2t=sin∠CBEt²．
将（5，20）代入得25sin∠CBE=20，解得：sin∠CBE=$\frac{4}{5}$，
0＜t≤5时，y=$\frac{4}{5}{t^2}$，故①正确．
∵sin∠CBE=$\frac{4}{5}$，
∴COS∠CBE=$\frac{3}{5}$，故③错误．
由图（2）可知：当t=5时，点Q与点C重合，当t=10时，点P与点E重合，则BC=10，BE=10．则BC=BE．
∵∠AEB=∠CBE，
∴AB=BEsin∠AEB=10×$\frac{4}{5}$=8．
在△ABE中，AE=$\sqrt{B{E}^{2}-A{B}^{2}}$=6．
当t=6时，如图2所示：

在△ABE与△PQB中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BP=6}\\{∠1=∠2}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△PQB（SAS）．
故②正确．
当t=$\frac{29}{2}$秒时，如图3所示：

∵当t=$\frac{29}{2}$秒时，PD=$\frac{29}{2}$-14=$\frac{1}{2}$，
∴PQ=8-$\frac{1}{2}$=7.5．
∴$\frac{PQ}{BQ}=\frac{7.5}{10}=\frac{3}{4}$．
又∵$\frac{AE}{AB}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{PQ}{BQ}=\frac{AE}{AB}$．
又∵∠BQP=∠A，
∴△AEB∽△QBP．
故④正确．
由DC=8，可知点F（22，0）
设NF的解析式为y=kx+b．
将N、F的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{14k+b=40}\\{22k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-5，b=110．
∴NF所在直线解析式为y=-5x+110．
故⑤错误．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E用了10s，点Q到达点C用了5s是解题的关键，也是本题的突破口