Question

如图，设在一个宽度为AB的小巷内，一个梯子的长度为b，梯子的底部位于P点，当梯子靠在左面墙上时，顶端距底面的高为c，且梯子与底面的夹角为75°；靠在另一面墙上时，顶端距底面的高度为d，且梯子与底面的夹角为45°，求小巷的宽度AB．

Answer 1

考点：全等三角形的应用,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：连接QR，过Q作QN⊥AR，则可证△PQR为等边三角形，得PQ=PR，进而求证△NQR≌△ARP，可得QN=RA，即墙面之间距离AB=c．

解答：解：连接QR，过Q作QN⊥AR，
∴∠PQD=45°，
∵∠QPR=180°-75°-45°=60°，且PQ=PR，
∴△PQR为等边三角形，
即PR=QR，
∵∠PQR=45°
∴∠RQN=15°=∠ARP，
在△NQR和△ARP中，

∠RNQ=∠A ∠NQR=∠ARP RP=RQ

，
∴△NQR≌△ARP（AAS），
∴QN=RA，即AB=c．

点评：本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质，考查了等边三角形的判定和各边长相等的性质，本题中求证△NQR≌△ARP是解题的关键．