Question

已知在△ABC中，∠ABC=45°，高AD所在的直线与高BE所在的直线交于点F，过点F作GF∥BC，交直线AB于点G，连接CF．
（1）△ABC锐角三角形时，求证：AD=GF+CD；
（2）当∠BAC是钝角时．
①写出线段AD、CD、GF三者之间数量关系．（不必写出证明过程，直接写出结论）；
②当BE=FE，BD=4时，求FG的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证AD=BD，∠DBF=∠CAD，即可证明△ACD≌△BFD，可得DF=DC，根据AD=AF+DF即可解题；
（2）①易证AD=BD，∠DBF=∠CAD，即可证明△ACD≌△BFD，可得DF=DC，根据AF=AD+DF即可解题；
②易证AE垂直平分BF，可得AB=AF，根据BD可求得AB的长，即可解题．

解答：证明：（1）∵∠ABD=45°，AD⊥BD，
∴AD=BD，
∵FG∥BC，
∴AF=FG，
∵∠DBF+∠BFD=90°，∠AFE+∠CAD=90°，∠AFE=∠BFD，
∴∠DBF=∠CAD，
在△ACD和△BFD中，

∠DBF=∠CAD AD=BD ∠BDF=∠ADC=90°

，
∴△ACD≌△BFD（ASA），
∴DF=DC，
∵AD=AF+DF，
∴AD=GF+CD；
（2）①作出图形，

∵∠ABD=45°，AD⊥BD，
∴AD=BD，
∵FG∥BC，
∴AF=FG，
∵∠DBF+∠BFD=90°，∠AFE+∠CAD=90°，∠AFE=∠BFD，
∴∠DBF=∠CAD，
在△ACD和△BFD中，

∠DBF=∠CAD AD=BD ∠BDF=∠ADC=90°

，
∴△ACD≌△BFD（ASA），
∴DF=DC，
∵AF=AD+DF，
∴FG=AD+CD；
②∵BE=EF，AE⊥BF，
∴AE垂直平分BF，
∴AB=AF，
∵BD=4，
∴AB=4

2

，
∴FG=AF=AB=4

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACD≌△BFD是解题的关键．