Question

14．如图，△ABD是等腰直角三角形，点C是BD延长线上一点，F在AC上，AD=AF，E为△ADC内一点，连接AE，BE，AE平分∠CAD，AE⊥BE．
（1）若∠EBD=15°，求∠ADF；
（2）求证：BE-AE=DF．

Answer 1

分析 （1）首先求出∠DAF=30°，利用等腰三角形的性质即可解决问题；
（2）作DK∥EF交BE于K．首先证明∠ABO=∠ADE=30°，再证明四边形EFDK是平行四边形，△DEF，△EDK都是等腰直角三角形，由△BDK≌△ADE，推出BK=AD即可解决问题；

解答 （1）解：设AD交BE于O，
∵∠AOE=∠BOD，∠AEO=∠BDO=90°，
∴∠DAE=∠EBD=15°，
∵EA平分∠DAF，
∴∠DAF=30°，
∵AD=AF，
∴∠ADF=∠AFD=75°

（2）证明：作DK∥EF交BE于K．
∵DA=DB，∠ADB=90°，
∴∠ABD=45°，∵∠EBD=15°，
∴∠ABO=30°，∠BOD=∠AOE=75°，
∵∠AEO=∠BDO=90°，
∴△AOE∽△BOD，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OE}{OD}$，
∴$\frac{OA}{OE}$=$\frac{OB}{OD}$，∵∠AOB=∠EOD，
∴△AOB∽△EOD，
∴∠EDO=∠ABO=30°．
即∠ADE=30°，
∵AD=AF．EA平分∠DAF，
∴AE⊥DF，∵AE⊥BE，
∴BE∥DF，
∴四边形EFDK是平行四边形，
∴EF=DK，DF=EK．
∵∠BOD=∠ODE+∠OED=75°，
∴∠ODE=45°，
∴∠EDF=∠ODE=45°，
∵EA=EA，∠EAD=∠EAF，AD=AF，
∴△EAD≌△EAF，
∴ED=EF，
∴∠EDF=∠EFD=45°，
∴△DEF，△EDK都是等腰直角三角形，
∵∠BDA=∠KDE=90°，
∴∠BDK=∠ADE，∵DB=DA，DK=DE，
∴△BDK≌△ADE，
∴BK=AD，
∴BE-BK=EK，
∴BE-AD=DF．

点评 本题科学全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．